辩证法认为，一般性富于特殊性之中，并通过特殊性表现出来，没有特殊性就没有一般性.因此，人们认识世界总是先从特殊的个别的情形开始，先认识和研究特殊的情形，进而认识和掌握一般的规律.在数学学习中也是如此，当我们对一般的数学问题进行探索和求解感到毫无头绪、无从下手时，不妨先从特殊情形开始，先分析研究特殊情形，从中寻找或发现一般问题的本质或规律，发现解决一般性问题的思路.下面我们通过几个具体的例题来说明，先从一个简单的例子开始.

例1在等腰三角形ABC中，AB=AC=2，点Pi在边BC上(如图1)，求m1+m2+…+m2 020.

解析Pi是边BC上的动点，APi,BPi,PiC的值都不确定，如何求mi的值？我们可以先从特殊情形着手.边BC上的特殊点有B，C及BC的中点D.连结AD，当点Pi位于点B时，有APi=AB=2,BPi=0,mi=4；当点Pi位于点C时，有APi=AC=2,PiC=0,mi=4；当点Pi为中点D时，有mi=AD2+BD·CD=AD2+BD2=AB2=4.

由此我们可以猜想：当点Pi在其它位置时都有mi=4.下面就尝试证明这一点.

连结APi,令BD=DC=a,BPi=b,则PiC=2a-b,则

所以m1+m2+…+m2 020=4×2 020=8 080.

例2在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为上的动点P到一个焦点距离的最小值为

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设过点M(0，-1)的直线l与椭圆C交于A，B两点(如图2)，试判断以AB为直径的圆是否均过某一定点，并说明理由.

解析(1)由得椭圆C的标准方程为

(2)对于第(2)问，如果知道一个具体的定点T，要判断以AB为直径的圆都经过这一点T，只要证明TA⊥TB就可以了.问题是这个定点T是否存在？若存在，这个点的具体位置在哪里？解决这个问题的通常思路是先求出以AB为直径的圆的方程，再判断这个圆经过某一定点，这就不是一件容易的事情了.一是因为运算过程复杂，计算繁琐；二是所求得的圆的方程中，参数较多，不容易看出这个圆经过某一定点.为此，我们可以先从直线l的特殊位置来探求定点T.当直线l为y轴或平行于x轴时，以AB为直径的圆分别为x2+y2=9与x2+(y+1)2=16.将这两个方程联立解得x=0,y=3.由此可以猜想：以AB为直径的圆都经过定点T(0，3).下面只要证明TA⊥TB，即证明

设A(x1,y1),B(x2,y2)，直线AB的方程为y=kx-1.将其与椭圆C的方程联立，得

则

于是由此可得

=x1x2+y1y2-3(y1+y2)+9

=0.

所以，TA⊥TB，点T(0，3)在以AB为直径的圆上，即以AB为直径的圆都经过定点T(0，3).

例3设四边形(指凸四边形)ABCD的面积S=1，周长为p,两条对角线长度之和为q,求p+q的最小值.

解析众多四边形放在一起，既要考虑周长，又要考虑两条对角线长度，令人难以入手.考虑先从特殊图形开始，探索最小值的大致范围.取面积为1的正方形，显然其周长p=4,两对角线长度之和再选取菱形，设菱形的两对角线长分别为l1,l2,则由得l1l2=2.于是

周长p

由此可以猜想，p+q的最小值为

如何来证明这个一般结论？为了寻找证明思路，我们还是从特殊情形入手，先思考比较特殊的图形平行四边形ABCD.如图3，连结AC，BD.设AC，BD交于点O，∠ABC=β，∠AOB=α.则

1

=AB·BCsinβ≤AB·BC

得(AB+BC)2≥4,即AB+BC≥2,p≥4.

又S

可得从而

综上，

这样，我们就找到了证明一般结论的思路：将四边形ABCD分成两个三角形和四个小三角形，通过面积关系来实现问题的解决.

如图4，设∠AOB=α,∠DAB=β1,∠ABC=β2,∠BCD=β3,∠CDA=β4.AB,BC,CD,DA边长分别为a,b,c,d；OA,OB,OC,OD长分别为e,g,f,h.则

S

可得

又S

+absinβ2+cdsinβ4)

可得(a+b+c+d)2≥16,p≥4.

综上，

sin(x+φ)=-1时,x1+x2+y1+y2的最小值为

分析2利用向量坐标运算的结构寻找出后,若由结论联想到中点坐标公式,可生成如下解法.

文章来源：《自然辩证法研究》 网址: http://www.zrbzfyjzz.cn/qikandaodu/2021/0414/513.html